پایان نامه های ارشد سری هجدهم

سایت مقالات فارسی – لایه های سیاه گرانش گوس بونه در حضور دو کلاس الکترودینامیک غیرخطی- …

اگر بخواهیم مکانیک کوانتومی را برای گرانش تعمیم دهیم با مشکلات زیادی روبهرو میشویم. برای فهم گرانش کوانتومی به سیستمی نیازمندیم که رفتار کلاسیک و کوانتمی را با هم در بر داشته باشد که یکی از این نمونه سیستمها، سیاهچالهها هستند. از این رو بررسی ترمودینامیک سیاهچالهها میتواند قدمی به سمت فهم گرانش کوانتومی باشد.
بهطور کلی سیاهچالهها توسط جرم، تکانهی زاویهای و بار الکتریکیشان توصیف میشوند. از نظر کلاسیکی سیاهچالهها جذبکنندههای کاملی هستند که هیچ چیزی گسیل نمیکنند و دمای فیزیکی مطلقشان صفر است. هاوکینگ با استفاده از نظریۀ میدانهای کوانتومی نشان داد که سیاهچالهها با یک طیف دمایی کامل تابش میکنند ]۴۹[. این تابش امروزه به تابش هاوکینگ موسوم است. در سال ۱۹۷۱ هاوکینگ اثبات کرد که مساحت افق سیاهچالهها نمیتواند تحت هیچ فرایندی کاهش پیدا کند و بهعلاوه نشان داد که وقتی دو سیاهچاله با هم ادغام میشوند مساحت سطح سیاهچالهی جدید نمیتواند کوچکتر از مجموع مساحتهای اولیه باشد ]۵۰[. سپس بکنشتین از قیاس با قانون دوم ترمودینامیک پیشنهاد کرد که یک آنتروپی وابسته به سطح افق در سیاهچاله وجود دارد [۱۶و۵۱]. کمی بعد کارتر، باردن و هاوکینگ رابطهی بین قوانین فیزیکی سیاهچالهها در نظریهی نسبیت عام و قوانین ترمودینامیک را بطور کامل نشان دادند ] ۱۵[.
۳-۱۰-۱ چهار قانون مکانیک سیاهچالهها
قوانین ترمودینامیک سیاهچالهها عبارتند از:
قانون صفرم:
قانون صفرم مکانیک سیاهچالهها بیان میکند، برای یک سیاهچاله در حال تعادل و پایدار گرانش سطحی[۳۳] که آنرا با  نمایش میدهیم روی افق رویداد یک سیاهچاله ثابت میماند ]۵۲[. این ثابت ماندن رهنمونی با قانون صفرم ترمودینامیک است؛ بدین معنی که دما در نقاط مختلف یک سیستم ترمودینامیکی که در تعادل گرمایی است، یکسان میباشد.
قانون اول:
اگر یک سیاهچالهی باردار چرخان از یک حالت پایا با آنتروپی  ، بار  و تکانه زاویهای  به حالت پایای دیگر (در نزدیکی حالت قبلی) با آنتروپی  ، بار  و تکانه زاویهای  برود، داریم:
(۳-۱۰-۱)
که در این رابطه  دمای افق رویداد ،  پتانسیل الکتریکی،  سرعت زاویهای افق رویداد و  جرم سیاهچاله است. در صورت چرخان یا باردار نبودن سیاهچاله، جملات مربوط به این کمیتها در رابطهی (۳-۱۰-۱) صفر خواهند شد.
قانون دوم:
قانون دوم میگوید، مساحت افق کاهش ناپذیر است. بهعبارت دیگر در هیچ فرایند فیزیکی، مساحت افق رویداد سیاهچاله نمیتواند کاهش یابد، یعنی همیشه داریم  .
قانون دوم تعمیم یافته: تعمیم قانون دوم توسط بکنشتاین مطرح شد و او این‌گونه بیان کرد، مجموع آنتروپی بیرون سیاهچاله و آنتروپی خود سیاهچاله هرگز کاهش نمییابد. تشابه این قانون با قانون دوم ترمودینامیک است، یعنی افزایش همیشگی آنتروپی.
قانون سوم:
گرانش سطحی افق سیاهچاله نمیتواند توسط تعداد متناهی فرایند فیزیکی به صفر مطلق برسد.
۳-۱۰-۲ دما
در تلاش برای توسعهی محاسبات در تابش خوبهخودی، هاوکینگ به این حقیقت دست یافت که حتی سیاهچالهی غیرچرخنده هم میتواند تابش کند و نشان داد که باید یک دمای غیرصفر به افق سیاهچاله نسبت داد [۴۹] که از رابطهی زیر تبعیت میکند ]۵۳[:
(۳-۱۰-۲)
بر طبق تعریف، گرانش سطحی عبارت است از شتاب یک ذرهی در نزدیک افق که توسط ناظری در بینهایت فضایی اندازهگیری شود.
اگر  یک میدان بردار کیلینگ باشد بهطوری که روی سطح افق حادثه نول باشد، گرانش سطحی را میتوان از رابطهی زیر استخراج نمود ]۲۵و۲۷[:
(۳-۱۰-۳)
۳-۱۰-۳ آنتروپی
در گرانش اینشتین آنتروپی سیاهچالهها معمولا قانونی موسوم به قانون مساحت[۳۴] را برآورده میکنند. بر طبق این قانون آنتروپی سیاهچاله برابر است با یک چهارم مساحت افق [۵۴]
(۳-۱۰-۴)
در حضور گرانش مرتبههای[۳۵] بالاتر دیگر قانون مساحت، یعنی رابطهی (۳-۱۰-۴) برقرار نیست و باید از سایر قوانین جهت محاسبهی آنتروپی استفاده کرد. والد نشان داد که آنتروپی سیاهچاله همیشه میتواند بهعنوان یک کمیت هندسی موضعی انتگرال‌گیری شده بر سراسر ناحیهی فضایی سطح مقطع افق رویداد بیان شود [۵۵ و۵۶]. آنتروپی والد بهشکل زیر معرفی میشود:
(۳-۱۰-۵)
که در آن  لاگرانژی لاولاک،  ابرسطح افق،  دترمینان متریک در ابرسطح  و  بردار یکهای که از دو طرف یک سطح برآن عمود میباشد. با قراردادن لاگرانژی لاولاک در رابطهی (۳-۱۰-۵)، شکل تعمیم یافتهی آنتروپی در ابعاد بالاتر بهدست میآید:
(۳-۱۰-۶)
که این انتگرال بر روی ابرسطح فضاگونه  بعدی گرفته میشود.  متریک القایی و  دترمینان این متریک میباشد. در این رابطه  معرف مراتب مختلف لاولاک میباشد. به ازای  های مختلف داریم:
(۳-۱۰-۷)
که در آن  و  به ترتیب تانسورهای ریمان و ریچی و  اسکالر ریچی برای متریک القایی  بعدی هستند. برای مرتبهی اول لاولاک معادله (۳-۱۰-۷) به معادلهی (۳-۱۰-۴) تبدیل میشود. همچنین برای مرتبه دوم لاولاک (  )، یعنی آنتروپی والد در لاگرانژی گوس-بونه بهصورت زیر ساده میشود:
(۳-۱۰-۸)
بهراحتی میتوان دریافت برای فضازمانهایی که ابرسطح فضاگونهی  بعدی آن دارای اسکالر ریچی صفر باشد  ، قانون مساحت برقرار خواهد بود.
۳-۱۰-۴ بار الکتریکی
برای

برای دانلود متن کامل پایان نامه به سایت azarim.ir مراجعه نمایید.

محاسبهی بار الکتریکی بر واحد حجم (منظور از حجم همان ابر سطح  و  ثابت است)، ابتدا تانسور میدان الکترومغناطیس را بر روی یک ابرسطح  بهدست میآوریم. سپس سطح فضاگونه  در مرز  و با متریک  در نظر گرفته و متریک مرز را به شکل [۳۶]ADMبهصورت زیر مینویسیم:
(۳-۱۰-۹)
در رابطهی فوق،  متغیرهای زاویهای هستند که ابرسطوح  ثابت حول مبدا را پارامتریزه میکنند. همچنین بردارهای عمود بر این ابرسطح بهصورت زیر تعریف میکنیم:
(۳-۱۰-۱۰)
که در این روابط  و  بهترتیب توابع گذار[۳۷] و جابهجایی[۳۸] میباشند. با توجه به روابط فوق، میدان الکتریکی برابر است با:
(۳-۱۰-۱۱)
بنابراین بار الکتریکی کل بر واحد حجم را میتوان با محاسبهی شار میدان الکتریکی در بینهایت فضایی محاسبه نمود.
۳-۱۰-۵ پتانسیل الکتریکی